\subsection{平行线分线段成比例定理}\label{subsec:czjh2-6-3}
\begin{enhancedline}

\begin{wrapfigure}[9]{r}{4.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch6-05}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-5}
\end{wrapfigure}

在四边形一章里，我们学过平行线分线段定理。如图 \ref{fig:czjh2-6-5}， $l_1 \pingxing l_2 \pingxing l_3$，
如果 $AB = BC$，那么 $DE = EF$。

由于 $\dfrac{AB}{BC} = 1$， $\dfrac{DE}{EF} = 1$，我们可得比例：
$$ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF} \juhao $$

这就是说，平行线等分线段时，分得的线段成比例。

下面我们来研究平行线不等分线段的情形。如图 \ref{fig:czjh2-6-6}， $l_1 \pingxing l_2 \pingxing l_3$，
如果 $AB \neq BC$，那么四条线段 $AB$、$BC$、$DE$、$EF$ 是否也有比例关系。

以 $B$ 为起点，在 $BA$ 上顺次截取和 $BC$ 相等的线段，有以下几种可能情形：

（1）如果截取 3 次正好截尽，这些分点和点 $B$ 四等分线段 $AC$（图 \ref{fig:czjh2-6-6} 甲），
这时 $\dfrac{AB}{BC} = 3$。经过分点分别作 $l'$、$l''$ 平行 $l_1$。
根据平行线等分线段定理，$l'$、$l''$ 和 $l_2$ 也等分线段 $DF$，
即 $DE = 3EF$， $\dfrac{DE}{EF} = 3$。这就得到
$$ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF} \juhao $$

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-06-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-06-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-6}
\end{figure}


（2）如果截取三次后还剩余一条小于 $BC$ 的线段 $GA$（图 \ref{fig:czjh2-6-6} 乙），
那么再以 $G$ 为起点，在 $GA$ 上顺次截取等于 $\dfrac{BC}{10}$ 的线段，
截 4 次正好截尽，这时 $\dfrac{AB}{BC} = 3.4$。
运用（1）中那样作平行线的方法，可以得到 $\dfrac{DE}{EF} = 3.4$，
因此也有
$$ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF} \juhao $$

（3）如果 $\dfrac{AB}{BC} = 3.47$，同样也有 $\dfrac{DE}{EF} = 3.47$；
如果 $\dfrac{AB}{BC} = 3.476$，也有 $\dfrac{DE}{EF} = 3.476$；
如果 $\dfrac{AB}{BC} = 3.476\cdots$，也有 $\dfrac{DE}{EF} = 3.476\cdots$。

这样，对于 $\dfrac{AB}{BC}$ 是任何实数，都可得
$$ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{DE}{EF} \juhao $$

利用合比性质，可得
$$ \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DE}{DF} \juhao $$


这样,我们就得到

\begin{dingli}[平行线分线段成比例定理]
    三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
\end{dingli}

如图 \ref{fig:czjh2-6-7}，在 $\triangle ABC$ 中，已知 $DE \pingxing BC$。
过点 $A$ 作 $MN \pingxing DE$，依据上述定理得：
$$ \dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}  \quad \text{或} \quad  \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} \juhao $$

这样,就得到

\begin{tuilun}[推论]
    平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。
\end{tuilun}

利用比例的性质，从推论还可以得到图 \ref{fig:czjh2-6-7} 中对应线段的各种比例。
例如 $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{DB}{EC} = \dfrac{AB}{AC}$ 等。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-07}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-7}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-08}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-8}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti \zhongdian{作已知线段 $a$、$b$、$c$ 的第四比例项。}

已知：线段 $a$、$b$、$c$。

求作：线段 $x$，使 $a:b = c:x$。

\zuofa 如图 \ref{fig:czjh2-6-8}。

1. 作以点 $O$ 为端点的射线 $OM$ 和 $ON$。

2. 在 $OM$ 上依次截取 $OA = a$， $AB = b$； 在 $ON$ 上截取 $OC = c$。

3. 连结 $AC$。 过点 $B$ 作 $BD \pingxing AC$，交 $ON$ 于点 $D$。

$CD$ 就是所求的线段 $x$。

证明略。


\liti \begin{dingli}
    平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
\end{dingli}

已知： $\triangle ABC$ 中， $DE \pingxing BC$， 分别交 $AB$、$AC$ 于 $D$、$E$（图 \ref{fig:czjh2-6-9}）。

求证： $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AE}{BC}$。

分析：由本节定理的推论可以直接得到
$$ \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} \juhao $$

$\dfrac{DE}{BC}$ 中的 $DE$ 不在 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上，我们不能直接利用前面所学的定理。
但从比例 $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$ 可以看出，除 $DE$ 以外，其他线段都在 $\triangle ABC$ 的边上，
因此，我们只要将 $DE$ 移到 $BC$ 边上去，得 $CF = DE$，然后再证明 $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CF}{BC}$ 就可以了。
这只要过点 $D$ 作 $DF \pingxing AC$，交 $BC$ 于点 $F$， $CF$ 就是平移 $DE$ 所得的线段。

\zhengming 过点 $D$ 作 $DE \pingxing AC$，交 $BC$ 于点 $F$。

$\left. \begin{aligned}
    & \left. \begin{aligned}
        DE \pingxing BC \\
        DF \pingxing AC
    \end{aligned} \right\} \tuichu DE = FC \\
    & DF \pingxing AC  \tuichu \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{FC}{BC}
\end{aligned} \; \right\} \tuichu \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC} \juhao$

$DE \pingxing BC  \tuichu \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$。

$\therefore$ \quad $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-09}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-9}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-subsec3-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{已知：如图， $l_1 \pingxing l_2 \pingxing l_3$。
    $AM = 3$ 厘米，$BM = 5$ 厘米，$CM = 4.5$ 厘米，$EF = 15$ 厘米。
    求 $DM$、$EK$、$FK$ 的长。
}

\xiaoti{已知：线段 $a$、$b$。求作： 线段 $a$、$b$ 的第三比例线段
    （即求作 $x$，使 $a:b = b:x$）。
}

\xiaoti{平行于 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 的直线，与另两边 $AB$、$AC$
    （或 $BA$、$CA$）的延长线相交于点 $D$、$E$，画出图形，并说出图中所有的成比例线段。
}

\xiaoti{已知：如图 \ref{fig:czjh2-6-9}， $DE \pingxing BC$， $DF \pingxing AC$。
    判断下列比例是否正确，不对的加以改正：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={12em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{DE}{BC}$；}
            & \xxt{$\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{BF}{FC}$；}
            & \xxt{$\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

